Отбор Корней в Тригонометрических Уравнениях Презентация

Отбор Корней в Тригонометрических Уравнениях Презентация.rar
Закачек 3789
Средняя скорость 8434 Kb/s

Отбор Корней в Тригонометрических Уравнениях Презентация

Решая тригонометрические уравнения, возникает вопрос отбора корней, связанных с областью определения и другими условиями.

Расскажем, как можно решить такую проблему.

Первый метод нахождения подходящих корней заключатся в решении диофантовых уравнений с целыми коэффициентами.

Второй метод заключается в изображении всех решений на тригонометрической окружности и исключении неподходящих решений.

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

ОТБОР КОРНЕЙ В ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЯХ Презентацию разработала учитель математики МБОУ СОШ №4 г. Покачи ХМАО-Югра Тюменской области Литвинченко Л.В.

Расскажем, как можно решить такую проблему . Первый метод нахождения подходящих корней заключатся в решении диофантовых уравнений с целыми коэффициентами для этого необходимо: — найти наибольший общий делитель коэффициентов при неизвестных ; попробовать сократить на него обе части уравнения (разумеется, свободный член должен при этом остаться целым числом). Второй метод заключается в изображении всех решений на тригонометрической окружности и исключении неподходящих решений. Метод этот очень прост в применении, если решения легко изобразить на тригонометрической окружности. Решая тригонометрические уравнения , возникает вопрос отбора корней ,связанных с областью определения и другими условиями. Рассмотрим пример : 21 k — 24 n = 8 и решим его первым способом. Набольший общий делитель коэффициентов равен 3 , и сократить его не удается, так как 8 на 3 не делится. Тогда можно сразу сказать, что это уравнение решений в целых числах не имеет.

Покажем, как искать решения. Решим уравнение 166 n — 44k = 6 . Для начала поделим обе части на 2 : 83 n — 22 k = 3. Теперь выберем ту неизвестную, коэффициент при которой меньше по абсолютной величине – в нашем случае это k — и выразим ее через другую неизвестную: 3. Выделим в этой дроби целую часть: Обозначим , или 17 n – 3 = 22t . Снова получилось неопределенное уравнение, но его коэффициенты уже меньше, чем у исходного.

5. Проделаем с этим новым уравнением ту же операцию, что и с исходным: выразим из него ту неизвестную, коэффициент при которой меньше по абсолютной величине (на сей раз это будет n ), и выделим из получающейся дроби целую часть: 6. Обозначим , или 5 t + 3 =17s . Продолжая в том же духе, выразим t через s : 7. Обозначим , или 5 v = 2s – 3 . Выразим s через v :

Обозначим , или v = 2 u – 3 . Чтобы получить решения исходного уравнения, нам осталось последовательно выразить v через u , s через v , t через s , n через t , k через n . 10. Отправимся в обратный путь: v = 2 u – 3

Итак, решение получено : k = 83 u – 102 , n = 22 u – 27 , где u – произвольное целое число. Стало быть ответ таков: 44 k + 6 = 166 n для некоторого n ∊ Z тогда и только тогда, когда k = 83 u – 102 , где u ∊ Z . Изложенный нами способ нахождения решения линейного неопределенного уравнения с целыми коэффициентами ( диофантового ) называется алгоритмом Евклида.

Важным этапом решения сложных тригонометрических уравнений является нахождение пересечения двух множеств углов π ( a+bn ) и π ( c+dk ) , где a, b, c, d — фиксированные рациональные числа; n, k – переменные, принимающие целочисленные значения. Иными словами, речь идет об отыскании целочисленных решений уравнения π ( a+bn ) = π ( c+dk ) (1) с рациональными коэффициентами a, b, c, d . Решаем вторым способ уравнение (1) -на тригонометрическом круге. Однако он применим только для достаточно простых комбинаций углов. Например, решить уравнения: а) б)

в) если НОД ( u , v ) больше 1, то (1) не имеет решений ; б) если НОД ( u , v ) = 1. В этом случае подбором найдем некоторое частное решение ( n₀, k₀ ) уравнения (2) , т.е. такую пару целых чисел ( n₀, k₀ ), для которых выполняется равенство un₀ + vk ₀ = w ; г) запишем решение уравнения (1) в виде: или а) уравнение (1) приведем к виду un + vk = w (2) где u , v , w – фиксированные целые числа и их НОД ( u , v , w ) = 1; Изложим общие этапы решения уравнения π ( a+bn ) = π ( c+dk ) (1) :

Пример 1. Решить в целых числах уравнение Решение . Приведем это уравнение к виду (2): -12 n + 5k = 3 . Пара n₀ = 1, k₀ = 3 – его частное решение. Поэтому общее решение имеет вид n = 1 + 5 t , k = 3 + 12 t , t ∊ Z . Ответ : n = 1 + 5t , k = 3 + 12 t , t ∊ Z . Пример 2. Решить в целых числах уравнение Решение . Приведем это уравнение к виду (2): 6 n — 40 k = 7. Так как НОД( 6 и 40 )=2 > 1, то решений нет. Ответ : нет решений. Рассмотрим два примера.

Пример 1. Объединить семейства значений . Рассмотрим примеры отбора корней на единичной окружности. Тогда ответ можно записать более компактно: x 2 Отметим на окружности значения x 1 – кружками , x 2 – квадратиками, (где x 1 и x 2 являются решениями уравнения). На окружности получилось шесть точек, которые делят окружность на равные части.

x 1 = , x 2 = Решение. I способ. Нанесем на окружности значения x 1 – кружками , x 2 – квадратиками . Значения x = π m являются повторяющимися. а ) Если ответ исключить их из первого семейства, то он будет выглядеть так: б) Если же ответ исключить из второго семейства, то он таков: Пример 2. Объединить семейства значений.

Решим относительно k . Получим , при n =4 m значения k будут целыми. Таким образом, ответ можно записать так, сохранив первое семейство, а из второго исключить повторяющиеся. Чтобы найти повторяющиеся решения, надо решить уравнение 2 способ. Аналитическое решение.

При отборе корней в тригонометрическом уравнении изображение их на тригонометрическом круге не всегда удобно, когда период меньше 2 π . В таких случаях удобнее применять аналитический способ. Пример : Решение : заменим это тригонометрическое уравнение эквивалентной системой уравнений, а затем найдем пересечение множеств решений.

В данном случае сделать отбор решений на тригонометрическом круге неудобно, так как периоды серий разные . Найдём такие целые k , при которых x = π +2 π k имеет посторонние корни, удовлетворяющие условию x≠ 3 π n , n ∊ Z . Ответ : x = π +2 π k , где k≠ 3 m +1 , m ∊ Z или x = π +6 π m , x =3 π +6 π m , m ∊ Z . Пусть π +2 π k =3 π n ; 1+2 k =3 n . Отсюда k=(3n-1) :2 = (2 n + n -1):2 = n +( n -1):2. Пусть m =( n -1):2. Тогда 2 m = n -1. Отсюда n =2 m +1. Следовательно k =(3(2 m +1)-1):2=(6 m +3-1):2=3 m +1. Итак, посторонние корни в серии x = π +2 π k будут при k =3 m +1 , m ∊ Z .

ОСНОВНАЯ СХЕМА ОТБОРА КОРНЕЙ ТАКОВА: Находится наименьший общий период всех тригонометрических функций, входящих в уравнение. На числовой прямой наносятся все решения, входящие в этот период (повторяющиеся, лишние отбрасываются; находятся удовлетворяющие уравнению и периодически продолжаются). Если период равен 2 π , то корни наносятся на единичную окружность, а затем с периодом 2 π продолжаются. Если значения корней очень маленькие, то их «укрупняют», а затем выбирают нужные. Возможно аналитическое решение пересечений семейств решений.

Спасибо за внимание!

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Урок систематизации знаний по теме «Решение тригонометрических уравнений» можно проводить как в 10 классе ( при изучении соответствующего материала), так и в 11 класе (при подготовке к ЕГЭ).

Приемы и методы нахождения корней тригонометрического уравнения на указанном числовом промежутке.

Данная работа состоит из календарно-тематического планирования блока «Отбор корней в тригонометрических уравнениях», технологической карты одного из занятий, а также проверочную работу для о.

Некоторые задания №15 (С1) ЕГЭ по математике представляют собой тригонометрическое уравнение. В последние годы составители заданий ЕГЭ по математике в качестве задач задания №15 предлагают довол.

Разработка посвящена организации повторения темы «Отбор корней в тригонометрических уравнениях», включает в себя дидактические материалы для проведения диагностической работы, конспект разноуровневого.

Пособие ориентировано на повторение курса геометрии и позваляет подготовиться к решению тригонометрических задач части С.

Маршрутный лист и презентация в PP. Решение простейших тригонометрических уравнений. Геометрическая иллюстрация решения простейших тригонометрических уравнений. Отбор корней тригонометриче.

Способы отбора корней в тригонометрических уравнениях. Арифметический. Геометрический. Алгебраический. Функционально-графический.

Слайд 2 из презентации «Подготовка к ЕГЭ 2014 по математике»

Размеры: 720 х 540 пикселей, формат: .jpg. Чтобы бесплатно скачать слайд для использования на уроке, щёлкните на изображении правой кнопкой мышки и нажмите «Сохранить изображение как. ». Скачать всю презентацию «Подготовка к ЕГЭ 2014 по математике.pptx» можно в zip-архиве размером 856 КБ.

ЕГЭ по математике

«Задания ГИА по математике» — Человек. Мальчик и девочка. Стрелки часов. Сколько спиц в колесе. Девочка. Часовая стрелка. Периметр прямоугольного участка земли. Минутная стрелка. Открытый банк заданий по математике. Площадь прямоугольного земельного участка. Фонарь. Мальчик. Высота. Колесо.

«Варианты заданий ЕГЭ по математике» — Нестандартные уравнения. Сюжетные задачи. Уравнения, неравенства и их системы. Разные виды функций. Задания третьей части. Анализ содержания заданий по математике ЕГЭ. Исследуйте на монотонность функцию. Сколько корней имеет уравнение. Корни иррациональны. Задания первой части (форма А). Геометрические фигуры и их свойства.

«В8 в ЕГЭ по математике» — Значение производной функции. Геометрический смысл производной. Решение заданий В8 ЕГЭ по математике. Промежутки убывания функции. Производная. Количество точек экстремума функции. Значение производной в точке касания. Количество точек максимума функции. График производной функции. Найдите абсциссу точки касания.

«ГИА по математике» — Структура работы. Рекомендации ФИПИ. Система оценивания экзаменационной работы. Время выполнения. Нижняя граница. Продолжительность экзамена. Ресурсы для подготовки. Назначение новой формы ГИА. Аттестация выпускников. Ход решения. Математика. Задания по геометрии. ГИА по математике. Государственная итоговая аттестация.

«ГИА по математике 2012» — Перспективная модель ГИА-2012 по математике. мальчики покрасят забор, работая втроем? Всего приняли участие 126 учащихся 9 классов. Характеристика структуры и содержания экзаменационной работы. Часть 2 направлена на проверку владения материалом на повышенном и высоком уровнях. Система оценивания экзаменационной работы.

«ГИА 2012 по математике» — Разрешается использовать линейку. Калькуляторы на экзамене не используются. Кодификатор элементов содержания. Часть 2 направлена на проверку владения материалом на повышенном и высоком уровнях. Дополнительные материалы и оборудование. ГИА 2012 математика. Характеристика структуры и содержания экзаменационной работы.

Всего в теме «ЕГЭ по математике» 33 презентации

Успейте воспользоваться скидками до 70% на курсы «Инфоурок»

Описание презентации по отдельным слайдам:

Способы отбора корней в тригонометрических уравнениях Составитель: Корнилова Любовь Александровна, учитель высшей категории МБУ лицей № 6 г. О. Тольятти

Существуют следующие способы отбора корней: • арифметический способ; • алгебраический способ; • геометрический способ; • функционально-графический способ.

Задача С1 или задание15 представляет собой уравнение или систему уравнений.

Ключевым признаком задачи является необходимость отбора полученных в результате решения того или иного уравнения корней в соответствии с вытекающими из условия ограничениями. При этом для решения задачи 15необходимо уверенное владение навыками решения всех типов уравнений и систем уравнений, изучаемых в основной и старшей школе: целых рациональных, дробно-рациональных, иррациональных, тригонометрических, показательных, логарифмических.

Существуют следующие способы отбора корней:

  • арифметический способ;
  • алгебраический способ;
  • геометрический способ;
  • функционально-графический способ.

Учить отбору корней необходимо только в том случае, если решение простейших уравнений по каждому виду не вызывает никаких затруднений. Приводимое решение должно содержать все необходимые пояснения и обоснования и быть понятным не только его автору, но и любому компетентному человеку.


Статьи по теме